Si arrojaras masa para galletas al sol, ¿cuánto tardarías en hornear?

Primero, supongamos que está en órbita alrededor de la atmósfera de la Tierra y arrojó la galleta hacia el sol a 40 km / h. La más deliciosa de las velocidades.

Podemos abordar este problema haciendo primero una pregunta más general: ¿Cuál es la temperatura frente al tiempo de un trozo de masa para galletas en órbita alrededor del sol? Luego podemos echar un vistazo a diferentes órbitas y ver si podemos lograr las condiciones necesarias para hornear una galleta. Supongamos que estamos lo suficientemente lejos de la tierra como para descuidar la atmósfera. Diga, en la luna.

Para llegar a la conclusión, el problema general es que, para hornear una galleta, debes colocarla en una ventana de temperatura bastante estrecha durante un corto período de tiempo. Hasta donde yo sé, no es ideal "cocinar a fuego lento" una galleta. Las órbitas típicas alrededor del sol que parten de la tierra, como era de esperar, toman del orden de un año. Entonces, incluso si diseña una trayectoria que calienta la galleta hasta la temperatura adecuada, pasará muchos días a temperaturas ligeramente más bajas de lo ideal. Eso probablemente no produciría una galleta sabrosa.

La mejor manera de hacerlo funcionar es disparar la galleta a velocidades que son una fracción significativa de la velocidad de la luz. Por supuesto, esto no es realmente posible con la tecnología actual. Y plantea el problema de recuperar la galleta una vez horneada, ya que abandonará rápidamente el sistema solar y nunca regresará. Pero ese es otro problema para otro día.

Primero, calculemos la distancia r (t) desde la masa de la galleta hasta el sol en función del tiempo. Esto se puede encontrar resolviendo numéricamente las ecuaciones diferenciales acopladas que obtenemos de la ley de Newton F = ma en coordenadas polares (r, theta), donde la fuerza es la fuerza gravitacional del sol:

Y:

Donde M es la masa del sol y G es la constante gravitacional.

Hice esto usando Mathematica, con la distancia inicial r (0) el radio de la órbita de la tierra y la velocidad inicial v0, orientada en el ángulo phi0 medido con respecto a la línea que conecta la tierra y el sol.

En segundo lugar, debemos calcular la temperatura de la masa en función del tiempo a medida que viaja en la trayectoria calculada anteriormente. La transferencia de calor a la masa se producirá mediante la absorción de la luz del sol, lo que dará como resultado una potencia absorbida por la galleta (energía por tiempo):

Donde Ps es la potencia de salida total del sol y A1 es el área de la sección transversal de la galleta frente al sol.

La transferencia de calor fuera de la masa se producirá a través de la radiación del cuerpo negro:

Donde A2 es el área de superficie total de la galleta y σB es la constante de Stefan-Boltzmann.

Por lo tanto, podemos establecer una ecuación diferencial para T '(la tasa de cambio de temperatura T) en términos del calor específico C de la masa de galleta, la producción de energía total del sol Ps y la forma y el tamaño de la bola de masa. . La forma y el tamaño entran en juego de varias formas. Primero, más masa significa mayor capacidad calorífica. En segundo lugar, un área de sección transversal más grande que mira al sol significa más calor absorbido. En tercer lugar, una superficie más grande significa que se irradia más calor a través de la radiación del cuerpo negro. Consideremos un trozo esférico de masa para galletas con la densidad del agua, el calor específico del agua y un radio de 2 centímetros. También asumiré, por conveniencia, que la masa para galletas es un cuerpo negro perfecto (es decir, que absorbe completamente todas las longitudes de onda de la luz). Por supuesto, la validez de esta suposición dependerá del tipo de cookie. Una galleta de color oscuro, como chocolate con chispas de chocolate, sería un cuerpo negro más ideal que, digamos, la mantequilla de maní. Pero esto probablemente solo cambiaría la respuesta en un factor de 2 más o menos.

La ecuación diferencial para la temperatura es:

Donde r_c es el radio de la cookie, y A1 y A2 se calculan dada la forma esférica de la cookie. Nuevamente, podemos resolver esto numéricamente usando Mathematica, con la condición inicial T = 275 K = 2 C.

Las recetas típicas de galletas implican un tiempo de horneado de 10 a 15 minutos a unos 200 grados Celsius. Así que buscaremos una trayectoria que mantenga la temperatura muy por debajo de este nivel, con la excepción del intervalo de tiempo.

Primero, observemos las trayectorias en las que lanzamos la galleta tangencial a la órbita de la Tierra, es decir, a lo largo o en contra de la dirección del movimiento de la Tierra. A continuación se muestra una gráfica de cuatro de esas órbitas. Una muy cercana a la órbita de la Tierra, dos órbitas que se acercan más al sol y otra que se aleja mucho del sol. El segundo gráfico muestra la distancia desde el sol, r frente al tiempo. La órbita que está cerca de circular permanece aproximadamente a la misma distancia, la órbita que se aleja muy rápidamente se sale de la escala de la trama y las dos órbitas más cercanas se acercan periódicamente al sol.

El tercer gráfico muestra la temperatura resultante en función del tiempo para estas trayectorias. Como era de esperar, la masa de galletas que sigue aproximadamente la órbita de la Tierra se mantiene alrededor de la temperatura de la Tierra (aproximadamente 0 grados C). La órbita que se aleja del sol se enfría hacia el cero absoluto (-273 grados C). Los dos que más se acercan al sol son lo que buscamos, con un periodo de altas temperaturas.

Claramente, la curva azul se calienta demasiado; la galleta se quemaría terriblemente a 800 grados C. La curva púrpura parece más prometedora, superando el objetivo de 200 grados C. El único problema, como puede notar, es que la escala de tiempo es de cientos de miles de minutos. Entonces, la cantidad de tiempo que tardaría la galleta en hornearse alrededor de 200 C sería del orden de días. Nuevamente, la cookie estará muy exagerada. Este es un problema general: las escalas de tiempo involucradas en las órbitas alrededor del sol son típicamente del orden de un año, mientras que las escalas de tiempo involucradas en hornear galletas son del orden de minutos.

Una forma de superar este desajuste en las escalas de tiempo es acortar enormemente el tiempo que la galleta pasa cerca del sol lanzándola más allá del sol a una velocidad extraordinariamente alta (como en una fracción significativa de la velocidad de la luz). La siguiente figura muestra cuatro escenarios de este tipo con diferentes velocidades iniciales, que van desde un décimo hasta un tercio de la velocidad de la luz. En cada caso, la cookie se lanza en un ángulo de 9 grados con respecto al sol. Aquí, las trayectorias están una encima de la otra y parecen líneas completamente rectas. La galleta va tan rápido en todos los casos que la atracción gravitacional del sol tiene poco efecto en la trayectoria. El segundo gráfico muestra nuevamente la distancia del sol frente al tiempo, y el tercer gráfico muestra la temperatura frente al tiempo. A la velocidad inicial más alta (10 ^ 8 m / s), las cosas comienzan a parecer prometedoras. Aquí se tarda unos 10 minutos en calentarse, se mantiene a unos 200 C durante unos 10 minutos y luego se enfría en el transcurso de unos 45 minutos. Esto no es muy diferente de lo que sucede cuando horneas una galleta.

Es posible que las cosas se puedan mejorar alterando la geometría de la cookie. Si aumentara el área de superficie total de la galleta mientras mantiene al mínimo el área de la sección transversal presentada al sol, entonces la temperatura de equilibrio sería generalmente más baja y el enfriamiento se produciría más rápido. Por ejemplo, puede lograr esto moldeando la masa para galletas en una forma con muchas aletas estrechas, como en un disipador de calor para dispositivos electrónicos.

Pero seamos honestos, ¿quién quiere comerse un disipador de calor? De cualquier manera, buena suerte recuperando esa galleta.

Imagen superior inspirada en Shutterstock / Michelangelus

Si arrojara una bola de masa para galletas en el espacio directamente hacia el sol, ¿cuánto tiempo tardaría la masa en convertirse en una galleta completamente horneada? apareció originalmente en Quora . Puede seguir a Quora en Twitter , Facebook y Google+ .

Esta respuesta ha sido ligeramente editada por motivos de gramática y claridad.

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